The Rabbit Problem

04/06/09

ก่อนหน้านี้มีปัญหาคณิตศาสตร์จากแน็กมาแล้วเรื่องลำดับเลข ... วันหลังผมจะมาเล่าให้ฟังใหม่ ... แต่วันนี้ขอเจ้า "ปัญหากระต่าย" ก่อนล่ะกัน

เหมือนเช่้นเคย ... ปัญหานี้ถูกส่งมาจากกลุ่มเพื่อนๆ รุ่น 11 (CoE11, KKU) เพื่อเป็นการเล่นสนุกเครียดๆ กัน เมลล์นี้เป็นของพี่โดม ส่งมาเมื่อวันที่ 03/06/09 ครับ ... คำถามมีอยู่ว่า ...

สมมติมีเกาะร้างอยู่หนึ่งเกาะ และมีกระต่ายเกิดใหม่อยู่หนึ่งคู่ เป็นตัวผู้และตัวเมียอย่างละหนึ่งตัว

กระต่ายทั้งสองตัวจะเริ่มผสมพันธุ์เมื่ออายุได้หนึ่งเดือน กระต่ายตัวเมียจะคลอดลูกออกมาเป็นกระต่ายอีกหนึ่งคู่เมื่อสิ้นเดือนที่สอง
และยังคงสามารถคลอดลูกกระต่ายออกมาได้อีกหนึ่งคู่ต่อไปเรื่อยๆในทุกๆเดือนถัดไป (ตัวผู้หนึ่ง ตัวเมียหนึ่ง)
ส่วนกระต่ายที่เกิดใหม่ก็จะผสมพันธุ์กันได้เหมือนกระต่ายคู่แรก

คำถามคือ..

เมื่อครบหนึ่งปีจะมีกระต่ายทั้งหมดกี่ตัว หากสมมุติว่ากระต่ายทุกตัวไม่มีวันตาย

ขอคำตอบพร้อมวิธีคิดครับ

เป็นอะไรที่น่าท้าทายมาก ... ผมคิดอยู่นานหลายวันเหมือนกัน แต่ก็ไม่ได้คำตอบหรอกครับ ... ก็เลยลองถามกู(เกิ้ล) ดูหน่อย

ถ้าลองคิดๆ ลำดับเลขดูจะได้ว่า ...

เดือนที่ 0. มีกระต่าย 1 คู่ [1]
เดือนที่ 1. กระต่ายคู่นั้น (ให้เป็น 1-a) ยังไม่มีลูก เพราะจะออกลูกได้เมื่อสิ้นเดือนที่สอง ... ดังนั้นเดือนที่ 1 มีกระต่ายรวมทั้งหมด 1 คู่ [1]
เดือนที่ 2. กระต่ายคู่นั้น (1-a) ออกลูกมาเพิ่มอีก 1 คู่ (1-b) รวมกระต่ายตอนนี้มี 2 คู่ [2]
เดือนที่ 3. กระต่าย 1-a ออกลูกมาเพิ่มอีก 1 คู่ (1-c) แต่กระต่าย 1-b ยังออกลูกไม่ได้ เพราะยังไม่สิ้นเดือนที่สอง (เพิ่งผสมพันธุ์กัน) รวมตอนนี้ก็มีกระต่ายเป็น 3 คู่ [3]
เดือนที่ 4. กระต่าย 1-a, 1-b ออกลูกเป็น 1-d, 1-e ตามลำดับ แต่ 1-c ยังออกลูกไม่ได้ ... งั้นตอนนี้รวมกระต่ายคร่าวๆ อีก 2 คู่ก็เป็น 5 คู่ [5]

โดยจะเห็นว่า ... ถ้าสิ้นเดือนที่ 5 แล้วก็จะมีลูกของเจ้า 1-a, 1-b, 1-c ซึ่งก็จะรวมเป็น 8 คู่ เมื่อสิ้นเดือนที่ 5

ซึ่งเขียนเป็นลำดับคร่าวๆ ได้ดังนี้ 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... หรือได้สมการเป็น Xn = Xn-1 + Xn-2 ประมาณนั้นครับ

และเป็นที่มาของลำดับเลข Fibonacci number ซะงั้น ... ก่อนหน้านี้ พี่แบงค์ได้เคยเอาลำดับเลขมาให้เล่นแล้วครับ ... แต่ไม่รู้ที่มามันเป็นมายังไง มีตัวอย่างโจทย์มาด้วยอย่างงี้น่ะนะ

ref: The Rabbit Problem , WikiPedia , Fibonacci